Question

如图△ABC中，∠BAC=90°，∠B=2∠C，D在BA上，CD平分∠ACB，若BC=2，则BD的长为________．

Answer 1

4-2
分析：首先过点D作DE⊥BC于E，由CD平分∠ACB，∠BAC=90°，根据角平分线的性质，即可得AD=DE，继而求得AC=EC，又由△ABC中，∠BAC=90°，∠B=2∠C，求得∠B与∠C的度数，然后根据直角三角形的性质，求得AB与AC的长，设BD=x，求得DE与BE的长，由勾股定理即可求得等方程x²=（2-）²+（1-x）²，解此方程即可求得答案．
解答：解：过点D作DE⊥BC于E，
又∵∠BAC=90°，CD平分∠ACB，
∴AD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∵∠B=2∠ACB，
∴∠B=60°，∠ACB=30°，
∵BC=2，
∴AB=BC=1，AC==，
∴∠ADC=∠EDC，
∴CE=AC=，
设BD=x，
则AD=AB-BD=1-x，BE=BC-EC=2-，
在Rt△BDE中，BD²=BE²+DE²，
即x²=（2-）²+（1-x）²，
解得：x=4-2，
∴BD=4-2．
故答案为：4-2．
点评：此题考查角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．