如图，正多边形A₁、A₂、A₃、A₄…An，曲线B₁B₂B₃B₄…B_n叫做“正多边形的渐开线”，其中A_nB₁、B₁B₂、B₂B₃、B₃B₄…的圆心依次按A₁、A₂、A₃、A₄…循环．循环一周就叫一周曲线长，当A₁A₂=1时，一周曲线长为________．

（n+1）π
分析：观察图中可以发现曲线EFGHIJ的长度是由n个从小到大的扇形弧长组成的，所以利用弧长公式即可求出．
解答：

解：正多边形A₁A₂A₃A₄…A_n，的每个外角都等于 $\text{[math]}$ ，
∵A_nB₁、B₁B₂、B₂B₃、B₃B₄…的圆心依次按A₁、A₂、A₃、A₄…循环，当A₁A₂=1时，
∴半径依次为1、2、3、…，n，
∴一周曲线长= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1+2+3+…+n）π= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ π=（n+1）π．
故答案为（n+1）π．
点评：本题考查了弧长的计算：弧长= $\text{[math]}$ （n为弧所对的圆心角的度数，R为圆的半径）．也考查了正多边形的性质．

练习册系列答案

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科目：初中数学 来源： 题型：

27、我们约定，若一个三角形（记为△A₁）是由另一个三角形（记为△A）通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A₁是由△A复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图1是由△A复制出△A₁，又由△A₁复制出△A₂，再由△A₂复制出△A₃，形成了一个大三角形，记作△B．以下各题中的复制均是由△A开始的，由复制形成的多边形中的任意两个小三角形（指与△A全等的三角形）之间既无缝隙也无重叠．
（1）图1中标出的是一种可能的复制结果，它用到

次平移，

次旋转．小明发现△B∽△A，其相似比为

2：1

．若由复制形成的△C的一条边上有11个小三角形（指有一条边在该边上的小三角形），则△C中含有

121

个小三角形；
（2）若△A是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是

正三边形、正六边形

；
（3）在复制形成四边形的过程中，小明用到了两次平移一次旋转，你能用两次旋转一次平移复制形成一个四边形吗？如果能，请在图2的方框内画出草图，并仿照图1作出标记；如果不能，请说明理由；
（4）图3是正五边形EFGHI，其中心是O，连接O点与各顶点．将其中的一个三角形记为△A，小明认为正五边形EFGHI是由复制形成的一种结果，你认为他的说法对吗？请判断并说明理由．

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两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．
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设旋转角∠A₁A_OB₁=α（α＜∠A₁A_OA₂），θ₃，θ₄，θ₅，θ₆所表示的角如图所示．

（1）用含α的式子表示角的度数：θ₃=

，θ₄=

，θ₅=

；
（2）图2中，连接A_oH时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A_oH垂直且被它平分的线段？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想
设正n边形A_OA₁A₂…A_n-1与正n边形A_OB₁B₂…B_n-1重合（其中A₁与B₁重合），现将正n边形A_OB₁B₂…B_n-1绕顶点A_o逆时针旋转α(0°＜α＜

180°

)．
（3）试猜想在正n边形的情况下，是否存在以A₁为端点的线段被直线A_oH垂直且平分？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．
（4）设θ_n与上述“θ₃，θ₄，…”的意义一样，请直接写出θ_n的度数．

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科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

26、阅读：
我们约定，若一个三角形（记为△M₁）是由另一个三角形（记为△M）通过一次平移得到的，称为△M经过T变换得到△M₁，若一个三角形（记为△M₂）是由另一个三角形（记为△M）通过绕其任一边中点旋转180°得到的，称为△M经过R变换得到△M₂．以下所有操作中每一个三角形只可进行一次变换，且变换均是从图中的基本三角形△A开始的，通过变换形成的多边形中的任意两个小三角形（指与△A全等的三角形）之间既无缝隙也无重叠．
操作：
（1）如图，由△A经过R变换得到△A₁，又由△A₁经过

变换得到△A₂，再由△A₂经过

变换得到△A₃，形成了一个大三角形，记作△B．
（2）在下图的基础上继续变换下去得到△C，若△C的一条边上恰有3个基本三角形（指有一条边在该边上的基本三角形），则△C含有

个基本三角形；若△C的一条边上恰有11个基本三角形，则△C含有

121

个基本三角形；
应用：
（3）若△A是正三角形，你认为通过以上两种变换可以得到的正多边形是

正六边形，正三角形

；
（4）请你用两次R变换和一次T变换构成一个四边形，画出示意图，并仿照下图作出标记．

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科目：初中数学 来源： 题型：

22、我们约定，若一个三角形（记为△A₁）是由另一个三角形（记为△A）通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A₁是由△A复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图1，由△A复制出△A₁，又由△A₁复制出△A₂，再由△A₂复制出△A₃，形成了一个大三角形，记作△B．以下各题中的复制均是由△A开始的，通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形（指与△A全等的三角形）之间既无缝隙也无重叠．
（1）图1中标出的是一种可能的复制结果，小明发现△A∽△B，其相似比为

1：2

．在图1的基础上继续复制下去得到△C，若△C的一条边上恰有11个小三角形（指有一条边在该边上的小三角形），则△C中含有

121

个小三角形；
（2）若△A是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是

正三角形或正六边形

；
（3）请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形，在图2的方框内画出草图，并仿照图1作出标记．

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如图，正多边形A1、A2、A3、A4…An，曲线B1B2B3B4…Bn叫做“正多边形的渐开线”，其中AnB1、B1B2、B2B3、B3B4…的圆心依次按A1、A2、A3、A4…循环．循环一周就叫一周曲线长，当A1A2=1时，一周曲线长为________．