Question

如图，△ABC内接于⊙O，OC和AB相交于点E，点D在OC的延长线上，且∠B=∠D=∠BAC=30°．
（1）试判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）AB=6，求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）直线AD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OA．
∵∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠D=90°，
即OA⊥AD，
∵OA为半径，
∴AD是⊙O的切线．

（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠ACO=60°，AC=OA，
∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ACE=90°，
∴OC⊥AB，
又∵OC是⊙O的半径，
∴AE=AB=6=3，
在Rt△ACE中，sin∠ACE==sin 60°，
∴AC=6，
∴⊙O的半径为6．
分析：（1）连接OA，求出∠AOC=2∠B=60°，根据三角形内角和定理求出∠OAD，根据切线判定推出即可；
（2）求出∠AEC=90°，根据垂径定理求出AE，根据锐角三角函数的定义即可求出AC，根据等边三角形的性质推出即可．
点评：本题考查了切线的判定，含30度角的直角三角形，锐角三角函数的定义，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生综合运用性质进行推理的能力．