Question

如图1，正方形ABCD的边长为2厘米，点E从点A开始沿AB边移动到点B，点F从点B开始沿BC边移动到点C，点G从点C开始沿CD边移动到点D，点H从点D开始沿DA边移动到点A、它们同时开始移动，且速度均为0.5厘米/秒．设运动的时间为t（秒）
（1）求证：△HAE≌△EBF；
（2）设四边形EFGH的面积为S（平方厘米），求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在图2中用描点法画出（2）中函数的图象，并观察图象，答出t为何值时，四边形EFGH的面积最小？最小值是多少？

t
s

Answer 1

解：（1）t秒时，AE=0.5t，BF=0.5t，DH=0.5t
∴AE=BF=DH
∵四边形ABCD为正方形
∴∠A=∠B=90°，AD=AB
∴AH=BE=2-0.5t
∴△HAE≌△EBF

（2）由（1）同理可得Rt△HAE≌Rt△EBF≌Rt△FCG≌Rt△GDH

=
自变量t的取值范围是O≤t≤4
（3）
∴图象的开口向上，对称轴为t=2，顶点坐标为（2，2）

t	0	1	2	3	4
s	4	2.5	2	2.5	4

说明：正确描点画图，图象如右图所示得（不能按自变量取值范围作图扣1分）
答：由图象可知t=2（秒）时，S_最小值=2（平方厘米）．
分析：（1）由于H、E的运动速度和时间都相等，因此DH=AE．四边形ABCD是正方形，可得到∠A=∠B=90°，且AD=AB，由此可证得AH=BE．根据SAS即可判定所求的两个三角形全等；
（2）按照（1）的思路，易求得Rt△HAE、Rt△EBF、Rt△FCG、Rt△GDH都全等，因此它们的面积也相等，因此四边形EFGH的面积即为正方形ABCD与4个全等三角形的面积差，由此可得到关于S、t的函数关系式；
（3）根据（2）得到的函数关系式，找出几组抛物线图象上的点，然后描点、连线即可作出抛物线的图象．进而可根据图象判断出在自变量的取值范围内S的最小值．
点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、图形面积的求法、二次函数的应用以及二次函数图象的画法等知识的综合应用．