Question

如图，已知∠AOB=90°，AD，AB，BC分别切⊙O于点D，E，C，⊙O半径为R，当点E在半圆DC上移动时，AD•BC的值是否变化，说明理由；若不变化，求出它的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：连接OD、OC，则可证明△OAD∽△BOC，可求得

AD

OC

=

OD

BC

，代入可得出结论．

解答：解：连接OD、OC，
∵AD、BC分别是⊙O的切线，
∴OD⊥AD，OC⊥BC，
∴∠ADO=∠BCO=90°，
又∵AB是⊙O的切线，
∴∠DAO=∠OAB，∠CBO=∠ABO，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠DAO+∠CBO=90°，且∠DOA+∠DAO=90°，
∴∠DOA=∠CBO，
∴△OAD∽△BOC，
∴

AD

OC

=

OD

BC

，即

AD

R

=

R

BC

，
∴AD•BC=R²，
∴AD•BC的值不变化，其值为R²．

点评：本题主要考查切线的性质及相似三角形的判定和性质，利用条件证明三角形相似找到AD•BC是解题的关键，注意切线长定理的应用．