Question

如图，大半圆O与小半圆O₁相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB=6cm，CD=12cm，则图中阴影部分的面积是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：将⊙O₁移动到O₁与O重合，则F和F′重合，连接OB，得出阴影部分的面积是：S=（π×OB²-π×OF′²）-（S_扇形AOB-S_三角形AOB），求出OF′⊥AB，由垂径定理求出AF′=BF′=3cm，代入即可得出答案．
解答：将⊙O₁移动到O₁与O重合，则F和F′重合，连接OB，AO，
∵AB∥CD，AB=6cm，CD=12cm，AB切⊙O₁于F，
∴OF⊥AB，
∴OF′⊥AB，
∴由垂径定理得：AF′=BF′=3cm，
在Rt△BOF′中，BF′=3cm，BO=CD=6cm，
即BF′=OB，
∵∠BOF′=30°，由勾股定理得：OF′=3cm，
同理∠AOF′=30°，
∴∠AOB=60°，
∴阴影部分的面积是S=（π×OB²-π×OF′²）-（S_扇形AOB-S_△AOB）
=π×（OB²-OF′²）-+×6×3
=π×BF′²-6π+9
=π×9-6π+9
=（9-π）cm²．
故选A．
点评：本题考查了勾股定理，垂径定理，切线性质等知识点，解此题关键是得出阴影部分的面积S=（π×OB²-π×OF′²）-（S_扇形AOB-S_三角形AOB）=π×BF′²-（S_扇形AOB-S_三角形AOB），题目比较典型，是一道比较好的题目．