Question

如图，在Rt△ABC中，斜边AB过⊙O的圆心，∠BAC的平分线交BC于⊙O上的点D，AB交⊙O于点E．
（1）求证：BC切⊙O于点D；
（2）若AE=10，AD=8，求BD的长及tan∠B的值．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OD，推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）连接DE，过D作DM⊥AB于M，求出DM，EM，推出BD²=BM²+DM²=BE×BA，求出BE，求BD，解直角三角形求出即可．

解答：（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠OAD，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴BC切⊙O于点D；

（2）解：连接DE，过D作DM⊥AB于M，
∵AE为直径，
∴∠EDA=90°，
在Rt△EDA中，AE=10，AD=8，由勾股定理得：ED=6，
∵S_△EDA=

1

2

DE×AD=

1

2

AE×DM，
∴DM=

24

5

，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：ME=

DE2-DM2

=

62-( 24 5 )2

=

18

5

，
∵BC切⊙O于D，
∴∠EDB=∠BAD，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAD，
∴

BD

BE

=

AB

BD

，
∴BD²=BE•BA，
在Rt△BDM中，BD²=BM²+DM²，
∴BM²+DM²=BE×BA，
∴（BE+

18

5

）²+（

24

5

）²=BE×（BE+10）
∴BE=

45

16

，
∴BD²=

45

16

×（

45

16

+10），
∴BD=

15 41

16

，
在Rt△BDO中，tanB=

OD

BD

=

5

15 41 16

=

16 41

123

．

点评：本题考查了角平分线定义，勾股定理，平行线性质和判定，定义三角形性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．