Question

19．已知样本x₁、x₂、…、x_n的方差为S²，
（1）求x₁+5、x₂+5、…、x_n+5的方差；
（2）求3x₁、3x₂、…、3x_n的方差；
（3）求3x₁+5、3x₂+5、…、3x_n+5的方差；
（4）通过上述计算结果，你能发现数据按上述变化后，方差的变化规律吗？试说出这条规律．

Answer 1

分析 根据n个数据，x₁，x₂，…x_n的平均数为$\overline{x}$，则方差S²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]进行计算即可，规律可以从计算结果中，根据结果的变换情况总结．

解答 解：x₁，x₂，…x_n的平均数为$\overline{x}$，则方差S²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，
（1）x₁+5、x₂+5、…、x_n+5的平均数是$\overline{x}$+5，方差=$\frac{1}{n}$[（x₁+5-$\overline{x}$-5）²+（x₂+5$\overline{x}$-5）²+…+（x_n+5-$\overline{x}$-5）²]=S²；
（2）3x₁+5、3x₂+5、…、3x_n+5的平均数是3$\overline{x}$，方差=$\frac{1}{n}$[（3x₁-3$\overline{x}$）²+（3x₂-3$\overline{x}$）²+…+（3x_n-3$\overline{x}$）²]=9S²；
（3）3x₁+5、3x₂+5、…、3x_n+5的平均数是3$\overline{x}$+5，方差=$\frac{1}{n}$[（3x₁+5-3$\overline{x}$-5）²+（3x₂+-$\overline{x}$-5）²+…+（3x_n+5-$\overline{x}$-5）²]=9S²；
（4）若一组数据中的各个数据都加上或减去同一个数后得到的新数据的方差与原数据的方差相等；若一组数据中的各个数据都扩大或缩小几倍，则新数据的方差扩大或缩小其平方倍．

点评 本题考查方差的定义与计算公式，一般地设n个数据，x₁，x₂，…x_n的平均数为$\overline{x}$，则方差S²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，