Question

如图，已知?ABCD的对角线交于O点，M为OD的中点，过M的直线分别交AD于CD于P、Q，与BA、BC的延长线于E、F

（1）如图1，若EF∥AC，求证：PE+QF=2PQ；
（2）如图2，若EF与AC不平行，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先由MP∥OA，DM=MO，得出DP=PA．再由平行四边形的性质得出∠EAP=∠QDP，∠AEP=∠DQP，然后利用AAS证明△APE≌△DPQ，得出PE=PQ．同理，QF=PQ，则PE+QF=2PQ；
（2）过O点作ON∥AD交EF于N，则ON是梯形CFPA的中位线，由梯形中位线的性质定理得出AP+CF=2ON，再利用AAS证明△OMN≌△DMP，得出ON=PD，则AP+CF=2PD．然后由CF∥PD，根据平行线分线段成比例定理得出

QF

PQ

=

CF

PD

，由DQ∥AE，根据平行线分线段成比例定理得出

PE

PQ

=

AP

PD

，将两个式子相加，化简整理后得出QF+PE=2PQ，判断（1）中的结论仍然成立．

解答：解：（1）如图1，∵MP∥OA，DM=MO，
∴DP=PA．
在?ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠EAP=∠QDP，∠AEP=∠DQP．
在△APE与△DPQ中，

∠EAP=∠QDP ∠AEP=∠DQP PA=PD

，
∴△APE≌△DPQ（AAS），
∴PE=PQ．
同理，QF=PQ，
∴PE+QF=2PQ；

（2）若EF与AC不平行，则（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图2，过O点作ON∥AD交EF于N，则ON是梯形CFPA的中位线，则AP+CF=2ON．
易证△OMN≌△DMP，
∴ON=PD，
∴AP+CF=2PD．
∵CF∥PD，∴

QF

PQ

=

CF

PD

，
∵DQ∥AE，∴

PE

PQ

=

AP

PD

，
∴

QF

PQ

+

PE

PQ

=

CF

PD

+

AP

PD

，即

QF+PE

PQ

=

CF+AP

PD

=

2PD

PD

=2，
∴QF+PE=2PQ．

点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，梯形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，有一定难度．（2）中正确地作出辅助线，利用平行线分线段成比例定理得出

QF

PQ

=

CF

PD

和

PE

PQ

=

AP

PD

，是解题的关键．