Question

已知一抛物线过点O（0，0），A（6，0），B（4，3），
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若P为抛物线在第一象限的一点，求△POA面积的最大值；
（3）抛物线的对称轴与直线OB交于点M，点C的坐标是（0，3），点Q为抛物线的对称轴上的一动点，以Q、O、M为顶点的三角形与△OBC相似，求出符合条件的Q点的坐标．

Answer 1

解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，抛物线过（0，0）、（6，0），（4，3）三点，
得，
解得
所求抛物线的解析式为；

（2）∵△POA的底边OA=6，
∴当S_△POA有最大值时，点P须位于抛物线的最高点，
∵，
∴抛物线的顶点为最高点，
∵==
∴顶点坐标为（3，）．
∴S_△POA的最大值=；

（3）抛物线的对称轴与x轴的交点Q₁符合条件，
∵CB∥OA，
∴∠Q₁OM=∠B，
∵∠BCO=∠OQ₁M，
∴△Q₁OM∽△CBO
∴Q₁的坐标为（3，0）
过点O作OB的垂线交抛物线的对称轴于Q₂，
∴∠Q₂OM=∠BCO=90°
∵对称轴平行于y轴，
∴∠Q₂MO=∠BOC，
∴△Q₂MO∽△BOC
∵∠Q₂OM=∠COA=90°
∴∠Q₁OQ₂=∠COB
∵Q₁O=CO=3，∠Q₂Q₁O=∠BCO，
∴△Q₂Q₁O≌△BCO，
∴Q₁Q₂=CB=4，
∵点Q₂位于第四象限，
∴Q₂的坐标为（3，-4）
因此符合条件的点有两个，分别是Q₁（3，0）、Q₂（3，-4）．
分析：（1）用待定系数法可求出此抛物线的解析式；
（2）易知抛物线的开口向下，且顶点在第一象限，由于OA的长为定值，若△POA的面积最大，那么P到OA的距离最长，所以此时P点为抛物线的顶点，可根据抛物线的解析式求出其顶点坐标，以OA为底，P点（即抛物线顶点）纵坐标绝对值为高即可求出△POA的最大面积；
（3）由于抛物线的对称轴与OC平行，那么∠QMO=∠BOC，若以Q、O、M为顶点的三角形与△OBC相似，
有两种情况需要考虑：
①∠OQM=∠BCO=90°；此时Q点为抛物线对称轴与x轴的交点，根据抛物线对称轴解析式即可求出其坐标；
②∠QOM=∠BCO=90°；根据同角的余角相等，易求得∠QOA=∠BOC，而OC=OO₁=3，即可证得△Q₂Q₁O≌△BCO，得Q₁Q₂=BC，由此可求出Q2的坐标．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、三角形面积的求法、相似三角形及全等三角形的判定和性质等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度适中．