Question

3．周末小明和同学们去“绿博园”的枫湖坐船，观赏风景；如图，小明正在A处的小船上，B处小船上的游客发现点A在点B的正西方向上，C处小船上的游客发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120米．
（1）求出此时点A到点C的距离；
（2）若小明从A处沿AC方向向C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时小明所乘坐的小船走的距离．（注：结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得AC的长；
（2）根据题意和锐角三角函数可以求得小明所乘坐的小船走的距离．

解答 解：（1）作CD⊥BA交BA的延长线于点D，
由题意可得，BC=120米，∠CBD=30°，
则CD=60米，
∵∠DCA=30°，
∴AC=$\frac{CD}{cos30°}=\frac{60}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=40\sqrt{3}$米，
即此时点A到点C的距离是40$\sqrt{3}$米；
（2）作A′N⊥BC于点N，作A′E⊥BA交BA的延长线于点E，
由题意可得，
∠1=30°，∠EA′B=′75°，∠EA′A=30°，∠CBD=30°，
则∠AA′B=45°，
∴∠2=15°，
∴∠A′BE=15°，
∴A′N=A′E，
设AA′=x，
则A′E=$\frac{\sqrt{3}x}{2}$，
∴A′N=$\frac{\sqrt{3}x}{2}$，
∴CA′=$\sqrt{3}x$，
∵CA=$40\sqrt{3}$，
∴x+$\sqrt{3}$x=40$\sqrt{3}$，
得x=$20\sqrt{3}-20$
答：此时小明所乘坐的小船走的距离是（$20\sqrt{3}-20$）米．

点评 本题考查解直角三角形的应用-方向角问题、勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．