Question

26、已知下面等式对任意实数x都成立（n为正整数）：（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a₁+a₂+a₃+…+a_n=57，则满足条件的n的可能值是

5

．

Answer 1

分析：利用特殊值法可以解决，分别分析当x=0时，当x=1时，代入已知式子，求出（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ的值，a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=a₀，进而得出a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=a₀+57=n+57=2+2²+2³+…+2ⁿ，从而得出答案．

解答：解：当x=0时，
∴（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=1+1+1+1+…+1=n，
a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=a₀，
∴a₀=n，
当x=1时，
∴（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=2+2²+2 ³+…+2ⁿ，
a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_n，
∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=57，
∴a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=a₀+57=n+57=2+2²+2 ³+…+2ⁿ，
∴只有n=5时，2+2²+2³+…+2ⁿ=2+4+8+16+32=62=57+n，
∴则满足条件的n的可能值是5．
故答案为：5．

点评：此题主要考查了整数问题的综合应用，利用当x=0与当x=1时，将已知条件变形得出a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=a₀+57是解决问题的关键．