Question

如图，地面上直立着的两根高压电线杆相距50m（CD的长度），分别在高为30m的A处和20m的B处用钢索将两电线杆固定．
（1）求钢索AD和钢索BC的交点E处离地面的高度．
（2）若两电线杆的距离（CD的长度）发生变化，点E离地面的高度是否随之发生变化？说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的应用

专题：

分析：（1）根据题意可知△ACD和△BCD都是直角三角形，且AC=30m，BD=20m，求点E到CD的距离，当CD的长度变化时，点E到CD的距离是否发生变化．
（2）所求距离不能用勾股定理求解，应考虑相似三角形．

解答：解：（1）作EF⊥CD于F，
因为AC⊥CD，BD⊥CD，
所以AC∥BD∥EF．
所以△DEF∽△DAC，△CEF∽△CBD，
所以

EF

AC

=

DF

DC

，

EF

BD

=

CF

DC

．
所以

EF

AC

+

EF

BD

=

DF

DC

+

CF

DC

=

DF+CF

DC

=1．
因为AC=30，BD=20，
所以

EF

30

+

EF

20

=1，
解得EF=12（m）．
即钢索AD与钢索BC的交点E离地面的高度是12m．
（2）若两电线杆的距离（CD的长度）发生变化，点E离地面的高度不发生变化．
因为从（1）中可知，CD为任意长时总有：

EF

AC

+

EF

BD

=1，EF（

1

AC

+

1

BD

）=1．所以EF=

AC•BD

AC+BD

．
故EF的长度与CD的长度无关．

点评：本题考查了相似三角形的应用，当图形中有平行线、对顶角、公共角等与相似三角形有密切关系的条件时，可利用相似三角形的性质求解．
小结：相似三角形判定方法的作用：①可以用来判定两个三角形相似；②间接说明角相等，线段成比例；③间接为计算线段长度及角的大小创造条件．
总结：本讲内容多为基础性知识，各类考试难度一般不大，通常以填空题、选择题和简单的解答题为主．学习时注意和相关知识的对比和联系．