Question

如图，把一张长10 cm，宽8 cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．

(1)要使长方体盒子的底面积为48 cm²，那么剪去的正方形的边长为多少？

(2)你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有最大的情况？如果有，请求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请说明理由．

(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)小题利用正方形的面积公式，列一元二次方程求解；(2)小题均是利用二次函数的性质求几何图形的最大面积． 　　解：(1)设正方形的边长为x cm，则(10－2x)·(8－2x)＝48，即x2－9x＋8＝0． 　　解得x1＝8(不合题意，舍去)，x2＝1．所以剪去的正方形的边长为1 cm． 　　(2)有侧面积最大的情况． 　　设正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，则y与x的函数关系式为y＝2(10－2x)x＋2(8－2x)x． 　　整理，得y＝－8x2＋36x，即y＝－8(x－)2＋． 　　所以当x＝2.25时，y最大＝40.5， 　　即当剪去的正方形的边长为2.25 cm时，长方体盒子的侧面积最大，为40.5 cm2． 　　(3)有侧面积最大的情况． 　　设正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2． 　　若按下图所示的方法剪折，则y与x的函数关系式为y＝2(8－2x)x＋2×x， 　　即y＝－6(x－)2＋． 　　当x＝时，y最大＝． 　　若按下图所示的方法剪折，则y与x的函数关系式为y＝2(10－2x)x＋2×x，即y＝－6·(x－)2＋． 　　当x＝时，y最大＝． 　　比较以上两种剪折方法可以看出，按下图所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2． 　　点评：求二次函数的最值通常是看它的顶点坐标，因此，同学们要熟练掌握将一个二次函数一般式转化为顶点式这一重要的技能．另外，本题第(3)小题通过计算两种剪法所得侧面积的大小，加以比较后作出结论．