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精英家教网如图,DE∥BC,FG∥AB,MN∥AC,且DE、FG、MN交于点P.若记S△ABC=S,S△PDM=S1,S△PEF=S2,S△PGN=S3.请猜想:S与S1、S2、S3之间存在怎样的关系?你能加以验证吗?
分析:根据DE∥BC,FG∥AB,MN∥AC,求证△PDM∽△CBA,利用四边形DPBG是平行四边形得出PD=BG,
DM
AB
=
BG
BC
EF
AC
=
CN
BC
,进一步得出
DM
AB
+
EF
AC
+
GN
BC
=
BC
BC
=1,再利用相似三角形面积比是相似比的平方即可得出结论.
解答:解:S与S1、S2、S3之间存在关系:
S1
+
S2
+
S3
=
S

证明:∵FG∥AB,
∴△PDM∽△CBA,
DM
AB
=
PD
BC

又∵DE∥BC,
∴四边形DPGB是平行四边形,
∴PD=BG,
DM
AB
=
BG
BC

同理:
EF
AC
=
CN
BC

DM
AB
+
EF
AC
+
GN
BC
=
BC
BC
=1
由△PDM∽△CBA得
S1
S
=(
DM
AB
)
2

S1
S
=
DM
AB

S2
S
=
EF
AC
S3
S
=
GN
BC

∴即
S1
S
+
S2
S
+
S3
S
=1,
S1
+
S2
+
S3
=
S
点评:此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,三角形面积的理解和掌握,利用相似三角形的相似比和平行四边形的性质得出
DM
AB
+
EF
AC
+
GN
BC
=
BC
BC
=1,这是此题的突破点,此题属于难题.
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