Question

20．若A，B两点是抛物线y=x²-3x-10与x轴交点（A左B右），抛物线上一点P的横坐标为4，在抛物线AP段（不包括A，P点）上存在一点M，使得△MAP的面积最大，点M的坐标为（1，-12）．

Answer 1

分析 作MH⊥x轴于H，交AP于N，先解方程x²-3x-10=0确定A点坐标为（-2，0），B点坐标为（5，0），再确定P点坐标为（4，-6），然后利用待定系数法确定为直线AP的解析式为y=-x-2，设M点坐标为（x，x²-3x-10），则N点坐标为（x，-x-2），则MN=-x²+2x+8，接着得到S_△APM=S_△MNA+S_△MNP=$\frac{1}{2}$•（4+2）•（-x²+2x+8），于是可根据二次的最值问题进行求解．

解答 解：存在．
如图作MH⊥x轴于H，交AP于N，
把y=0代入y=x²-3x-10得x²-3x-10=0，解得x₁=-2，x₂=5，
∴A点坐标为（-2，0），B点坐标为（5，0），
把x=4代入y=x²-3x-10得y=-6，
∴P点坐标为（4，-6），
设直线AP的解析式为y=kx+b，
把A（-2，0）、P（4，-6）代入得
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{4k+b=-6}\end{array}\right.$，解得
$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线AP的解析式为y=-x-2，
设M点坐标为（x，x²-3x-10），则N点坐标为（x，-x-2），
∴MN=-x-2-（x²-3x-10）=-x²+2x+8，
∴S_△APM=S_△MNA+S_△MNP=$\frac{1}{2}$•（4+2）•（-x²+2x+8）=-3x²+6x+24=-3（x-1）²+27，
∴当x=1时，△MAP的面积最大值为27，
把x=1代入y=x²-3x-10得y=1-3-10=-12，
∴此时M点坐标为（1，-12）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系，△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．