Question

代数式2x²+2xy+2y²+2x+4y+5的最小值为

 

．

Answer 1

分析：设出最小值，让代数式等于最小值，根据方程有解让根的判别式为非负数，进而得到关于d的代数式的用配方法表示的一个完全平方式和一个常数的和表示的形式，得到d的最小值即可．

解答：解：设最小值为d，即是：2x²+2xy+2y²+2x+4y+5=d，
∴2x²+2x（y+1）+2y²+4y+5-d=0，
∴△=[2（y+1）]²-4×2×（2y²+4y+5-d）≥0，
∴3y²+6y+9-2d≤0，
∴

2d

3

≥（y+1）²+2，
∴当y=-1时，

2d

3

≥2，d≥3，此时取d=3为最小的d值．
∴x=0，
即当x=0，y=-1时，有最小值d=3，
故答案为：3．

点评：本题考查了配方法的应用；设出最小值，根据一个字母表示的一元二次方程的根的判别式求解是解决本题的难点．