Question

20．如图，以x=1为对称轴的抛物线y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点A，点B（-1，0），与y轴交于点C（0，4），作直线AC．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，且到直线AC和x轴的距离相等，设点P的纵坐标为m，求m的值；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点Q为第一象限内抛物线上一点，若以点C、M、N、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用抛物线的对称性得到A（3，0），则可设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）先利用待定系数法其出直线AC的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4；令对称轴与直线AC交于点D，与x轴交于点E，作PH⊥AD于H，如图1，易得D（1，$\frac{8}{3}$），利用勾股定理计算出AD=$\frac{10}{3}$，设P（1，m），则PD=$\frac{8}{3}$-m，PH=PE=|m|，证明△DPH∽△DAE，利用相似比得到$\frac{|m|}{2}$=$\frac{\frac{8}{3}-m}{\frac{10}{3}}$，然后解方程可得到m的值；
（3）设Q（t，-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4）（0＜t＜4），讨论：当CM为对角线时，四边形CQMN为菱形，如图2，根据菱形的性质判定点N和Q关于y轴对称，则N（-t，-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4），然后
把N（-t，-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4）代入y=-$\frac{4}{3}$x+4得t的方程，从而解方程求出t得到此时Q点坐标；当CM为菱形的边时，四边形CNQM为菱形，如图3，利用菱形的性质得NQ∥y轴，NQ=NC，则N（t，-$\frac{4}{3}$t+4），所以NQ=-$\frac{4}{3}$t²+4t，再根据两点间的距离公式计算出CN=$\frac{5}{3}$t，所以-$\frac{4}{3}$t²+4t=$\frac{5}{3}$t，从而解方程求出t得到此时Q点坐标．

解答 解：（1）∵点A与点B（-1，0）关于直线x=1对称，
∴A（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，4）代入得a•1•（-3）=4，解得a=-$\frac{4}{3}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{4}{3}$（x+1）（x-3），即y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+p，
把A（3，0），C（0，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+p=0}\\{p=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{p=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4；
令对称轴与直线AC交于点D，与x轴交于点E，作PH⊥AD于H，如图1，
当x=1时，y=-$\frac{4}{3}$x+4=$\frac{8}{3}$，则D（1，$\frac{8}{3}$），
∴DE=$\frac{8}{3}$，
在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{8}{3}）^{2}}$=$\frac{10}{3}$，
设P（1，m），则PD=$\frac{8}{3}$-m，PH=PE=|m|，
∵∠PDH=∠ADE，
∴△DPH∽△DAE，
∴$\frac{PH}{AE}$=$\frac{DP}{DA}$，即$\frac{|m|}{2}$=$\frac{\frac{8}{3}-m}{\frac{10}{3}}$，解得m=1或m=-4，
即m的值为1或-4；
（3）设Q（t，-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4）（0＜t＜4），
当CM为对角线时，四边形CQMN为菱形，如图2，则点N和Q关于y轴对称，
∴N（-t，-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4），
把N（-t，-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4）代入y=-$\frac{4}{3}$x+4得$\frac{4}{3}$t+4=-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4，解得t₁=0（舍去），t₂=1，此时Q点坐标为（1，$\frac{16}{3}$）；
当CM为菱形的边时，四边形CNQM为菱形，如图3，则NQ∥y轴，NQ=NC，
∴N（t，-$\frac{4}{3}$t+4），
∴NQ=-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4-（-$\frac{4}{3}$t+4）=-$\frac{4}{3}$t²+4t，
而CN²=t²+（-$\frac{4}{3}$t+4-4）²=$\frac{25}{9}$t²，即CN=$\frac{5}{3}$t，
∴-$\frac{4}{3}$t²+4t=$\frac{5}{3}$t，解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{7}{4}$，此时Q点坐标为（$\frac{7}{4}$，$\frac{55}{12}$），

综上所述，点Q的坐标为（1，$\frac{16}{3}$）或（$\frac{7}{4}$，$\frac{55}{12}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会运用分类讨论的思想解决数学问题．