如图：已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC与E，F，给出以下五个结论：①EF=CP；②CF=AE；③2PF2=EF2；④∠AEP+∠AFP=180°；⑤当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），S四边形AEPF=$\frac{1}{2}$S△ABC．上述结论中始终正确的有（ ）| A． | ①②③④⑤ | B． | ①②⑤ | C． | ①③④⑤ | D． | ②③④⑤ |
分析 ①错误．∠EPF绕点P旋转过程中，PE的长度是变化的，所以EF的长度的变化的，而PC是不变的，故①错误．
②③⑤正确．只要证明△EPA≌△FPC，即可解决问题．
④正确．只要证明△PEF是等腰直角三角形即可．
解答 解：如图，连接AP．
∵AB=AC，∠BAC=90°，PB=PC，
∴PA=PB=PC，AP⊥BC，
∴∠PAB=∠C=45°，
∴∠APC=∠EPF=90°，
∴∠EPA=∠FPC，
在△EPA和△FPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C}\\{AP=PC}\\{∠EPA=∠FPC}\end{array}\right.$，
∴△EPA≌△FPC，
∴AE=CF，PE=PF，故②正确，S△EPA=S△FPC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$PF，
∴EF2=2PF2，故③正确，
∴S四边形AEPF=S△PAE+S△PAF=S△PFC+S△PAF=S△APC=$\frac{1}{2}$S△ABC，故⑤正确，
∵∠EAF+∠EPF=180°，
∴∠AEP+∠AFP=360°-（∠EAF-∠EPF）=180°，故④正确，
∵∠EPF绕点P旋转过程中，PE的长度是变化的，
∴EF的长度的变化的，而PC是不变的，故①错误，
故选D．
点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、四边形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是（ ）| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\sqrt{2}$-1 | C． | 2-$\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$ |
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科目：初中数学 来源： 题型：填空题
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB上中线CD，得到第1个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第2个三角形DEF；依次作下去…则第1个三角形的面积等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$a2，第n个三角形的面积等于$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{{2}^{2n}}$．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
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