Question

已知，如图(a)，抛物线y=ax²+bx+c经过点A(x₁,0),B(x₂,0)，C(0,-2)，其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N.∠ONE=30°，|x₁-x₂|=8.

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得⊿ABP与⊿ADB相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；

（3）如图（b）,点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：

AH·AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

(2）如图，由抛物线的对称性可知：

，．

必须有．             

设AP交抛物线的对称轴于D′点，

显然，

∴直线的解析式为 ，             

由，得.

∴ .                     

过作

∵

∴．．

∴与不相似，                 …………………………9分

同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．

所以在该抛物线上不存在点，使得与与相似．…………………… 10分

(3)连结AF、QF,

在和中，M

由垂径定理易知：弧AE=弧AF.

∴,

又,

∴∽,

,

                  ……………… 12分

在Rt△AOF中，AF²＝AO²＋OF²＝2²＋(2)²＝16（或利用AF²＝AO·AB＝2×8＝16）

∴AH·AQ＝16

即：AH·AQ为定值。                              …………… 14分