Question

已知：⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连接AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．

Answer 1

证明：连接AD，
∵⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD，
∴弧AC=弧AD，
∴∠AMD=∠ADC，
∵A、M、C、D四点共圆，
∴∠FMC=∠ADC（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），
∴∠AMD=∠FMC．
分析：连接AD，根据垂径定理求出弧AD=弧AC，根据圆周角定理求出∠AMD=∠ADC，根据四点共圆求出∠FMC=∠ADC，即可推出答案．
点评：本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点的应用，关键是作辅助线得出∠ADC=∠AMC，通过做此题培养了学生运用定理进行推理的能力．