Question

如图，在边长在2的正方形ABCD中，点F在x轴上一点，CF=1，过点B作BF的垂线，交y轴于点E；
（1）求过点E、B、F的抛物线的解析式；
（2）将∠EBF绕点B顺时针旋转，角的一边交y轴正半轴于点M，另一边交x轴于点N，设BM与（1）中抛物线的另一交点为G，当点G的横坐标为时，EM与NO有怎样的数量关系？请说明你的结论；
（3）点P在（1）中的抛物线上，且PE与y轴所成锐角的正切值为，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）由题意，可得点B（2，2）；
∵CF=1，
∴F（3，0）；
在正方形ABCD中，∠ABC=∠OAB=∠BCF=90°，AB=BC，
∵BE⊥BF，
∴∠EBF=90°，
∴∠EBF=∠ABC，
即∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBF，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF；
∴E（0，1）．
设过点E，B，F的抛物线的解析式为y=ax²+bx+1，则有：
，
解得；
∴该抛物线的解析式为：y=-x²+x+1．

（2）∵G（在抛物线y=-，
∴，
∴G（，）；
设过B、G的直线解析式为y=kx+b，
∴
∴
∴过点BE的直线解析式为y=，
∴直线y=与y轴交于点M（0，3），
∴EM=2；
可证△ABM≌△CBN，
∴CN=AM，
∴ON=1；
∴EM=2ON．


（3）点P在抛物线y=上，设P点的坐标为（m，，
如图2：①过点P₁作P₁H1⊥y轴于点H₁，连接P₁E；
∴tan∠H₁EP₁=，
∴，
即，
解得（不合题意，舍去）；
②过点P₂作P₂H₂⊥y轴于点H₂，连接P₂E，
∴tan∠，
∴，
解得（不合题意，舍去）
当，
当．
综上所述，点P₁（，），P₂（，-）为所求．
分析：（1）根据正方形的边长易求得B、F点坐标．若∠EBF=90°，那么∠ABE、∠CBF为同角的余角，由此可证得△ABE≌△CBF，即可求得AE的长，从而可得到E点坐标，从而利用待定系数法求得该抛物线的解析式．
（2）根据点G的横坐标，可确定G点的坐标，易求得直线BG的解析式，从而得到M点的坐标，即可得到EM、AM的长，由（1）知AM=CN，由此可求得CN、ON的长，然后可求得EM、ON的数量关系．
（3）此题应分两种情况考虑：
①当点P在E点上方时，过P作PH⊥y轴于H，连接PE，根据抛物线的解析式可设出点P的坐标，即可得到EH、PH的长，然后根据∠PEH的正切值求出点P的坐标．
②当点P在E点下方时，方法同①．
点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、锐角三角函数的定义等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．