Question

如图，扇形CAB的圆心角∠ACB=90°，半径CA=8cm，D为弧AB的中点，以CD为直径的⊙O与CA、CB相交于点E、F，则图中阴影部分的面积是

（16π-32）

cm²．

Answer 1

分析：连EF，由∠ACB=90°，根据圆周角定理的推理得EF为⊙O的直径，即EF过点O，则△CEF为等腰直角三角形，得到EF=CD=CA=8，OC=4，由于S_弓形CE+S_弓形CF=S_半圆ECF-S_△CEF，
S_阴影部分=S_扇形CAB-S_半圆DEF-S_△CEF+S_弓形CE+S_弓形CF=S_扇形CAB-S_半圆DEF-S_△CEF+S_半圆ECF-S_△CEF=S_扇形CAB-2S_△CEF，然后根据扇形和三角形的面积公式计算即可．

解答：解：连EF，如图，
∵∠ACB=90°，
∴EF为⊙O的直径，即EF过点O，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴EF=CD=CA=8，OC=4，
∴S_弓形CE+S_弓形CF=S_半圆ECF-S_△CEF，
∴S_阴影部分=S_扇形CAB-S_半圆DEF-S_△CEF+S_弓形CE+S_弓形CF
=S_扇形CAB-S_半圆DEF-S_△CEF+S_半圆ECF-S_△CEF
=S_扇形CAB-2S_△CEF，
=

90π•82

360

-2×

1

2

×8×4
=（16π-32）cm²．
故答案为（16π-32）．

点评：本题考查了扇形面积公式：扇形的面积S=

n•π•R2

360

（n为圆心角的度数，R为圆的半径）．也考查了等腰直角三角形的性质以及圆周角定理的推理．