练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，梯形ABCD中，BC∥AD，∠BAD=90°，AD=18，BC=24，AB=m．在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．
    （1）当CP=6时，试确定点E的位置．
    （2）若设CP=x，BE=y，写出y关于x的函数关系式．
    （3）在线段BC上能否找到不同的两点P1、P2，使得按上述作法得到的点E都分别与点A重合？若能，试求出此时m的取值范围；若不能，请说明理由．

    【答案】分析：（1）过D作DF于PC垂直，垂足为F，根据三个角为直角的四边形为矩形得到ABFD为矩形，根据矩形的对边相等得到BF=AD，而AD为18，故BF为18，由BC-BF求出FC=6，所以此时P与F重合，由BF与DF垂直得到此时E与B重合；
    （2）分两种情况考虑：当P在BF上时，由PD与PE垂直，由BC，AB及CP，BE表示出FD，FP，PD的长，根据平角定义得到∠BPE与∠FPD互余，又根据直角三角形的两锐角互余得到∠EPB与∠BEP互余，根据同角的余角相等得到∠BEP=∠FPD，由一对直角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似得到三角形BEP与三角形PFD相似，由相似得比例即可列出y与x的关系式；当P在FC上时，画出图形，同理可得y与x的关系式，综上，得到y与x的关系式；
    （3）存在，当E与A点重合时，BE=AB=m=y，此时P在BF上，由（2）对应的y与x的解析式，根据y=m列出关于m的方程，假设在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，故方程有两个不等的实数根，进而得到根的判别式大于0，且根据负数没有平方根，分别列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
    解答：解：（1）作DF⊥BC，F为垂足．
    当PC=6时，
    由已知可得四边形ABFD是矩形，FC=6，
    ∴点P与点F重合．又∵BF⊥FD，
    ∴此时点E与点B重合．

    （2）当点P在BF上（即6＜x≤24）时，
    由CP=x，BE=y，AB=m，BC=24，FC=6，
    所以BP=24-x，PF=6-x，
    ∵∠EPB+∠DPF=90°，∠EPB+∠PEB=90°，
    ∴∠DPF=∠PEB，又∠B=∠PFD=90°，
    ∴△PBE∽△DPF，
    ∴，即，
    ∴．
    当点P在CF上（即0＜x≤6）时，
    由CP=x，BE=y，AB=m，BC=24，AB=m，
    所以FD=m，FP=6-x，BP=24-x，
    ∵∠EPB+∠DPF=90°，∠EPB+∠PEB=90°，
    ∴∠DPF=∠PEB，又∠EBP=∠PFD=90°，
    ∴△PBE∽△DPF，
    ∴=，即=，
    ∴．
    综上：

    （3）能找到这样的两点．
    当点E与点A重合时，AB=y=EB=m，
    此时点P在线段BF上，根据（2）中的关系式，
    则有，整理得，x2-30x+144+m2=0①．
    假设在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，
    即方程①有两个不相等的正根，
    首先要△=（-30）2-4×（144+m2）＞0，
    然后应有x=15±＞0．
    由△＞0解得81＞m2，由于＜15，m＞0，
    ∴0＜m＜9．
    点评：此题考查了梯形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，以及一元二次方程的应用，其中第二问的思路为：根据P在作出的DF的两侧分两种情况，利用分类讨论的思想，根据相似得比例得出y与x的关系式，第三问的思路为：构造一元二次方程，根据方程解的情况得出根的判别式大于0，进而列出关于m的不等式，从而求出m的范围．学生求m范围时还要注意负数没有平方根这个隐含条件．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AB=8，则CD的长为（　　）
    A、
    8
    		6
    3
    B、4
    		6
    C、
    8
    		2
    3
    D、4
    		2

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    5、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC、BD相交于点O，那么，图中全等三角形共有
    3
    对．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    10、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO-EO=3，则BC-AD等于（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，cosC=
    		2
    10
    ．
    （1）求BC的长；
    （2）试在边AB上确定点P的位置，使△PAD∽△PBC．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=5，AD=3，对角线AC⊥BD，且∠DBC=30°，求梯形ABCD的高．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案