Question

6．如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE、连接BE、CE．
（1）如图1，若正方形的边长为2$\sqrt{2}$，PB=1，求BG的长度；
（2）如图2，当P点为BC的中点时，求证：CE=$\sqrt{2}$BG；
（3）如图3，∠GBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：BN+DN=$\sqrt{2}$AN．

Answer 1

分析 （1）先根据线段垂直平分线的性质，求得AB=BE=2$\sqrt{2}$，再根据勾股定理，求得Rt△ABP中，AP=3，最后根据△ABP的面积，求得BG的长；
（2）先过C作CH⊥AE于H，判定△BGP≌△CHP（AAS），根据全等三角形对应边相等以及等腰三角形的性质，得出△CEH为等腰直角三角形，进而得到CE=$\sqrt{2}$CH=$\sqrt{2}$BG；
（3）先过点D作DH⊥AE于H先判定△BGN为等腰直角三角形，得出BG=GN，BN=$\sqrt{2}$GN，再判定△ADH≌△BAG（AAS），得出AH=BG=GN，DH=AG，进而得到HN=HG+GN=HG+AH=AG，DH=HN，再根据△DHN为等腰直角三角形，得出DN=$\sqrt{2}$HN=$\sqrt{2}$AG，最后得到BN+DN=$\sqrt{2}$GN+$\sqrt{2}$AG=$\sqrt{2}$AN．

解答 解：如图1，∵AG=GE，BG⊥AP，
∴AB=BE=2$\sqrt{2}$，
∵正方形ABCD中，∠ABP=90°，AB=2$\sqrt{2}$，PB=1，
∴Rt△ABP中，AP=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}$=3，
∵△ABP的面积=$\frac{1}{2}$×AP×BG=$\frac{1}{2}$×AB×BP，
∴BG=$\frac{2}{3}\sqrt{2}$；

（2）如图2，过C作CH⊥AE于H
∵BG⊥AE，
∴∠BGP=∠CHP=90°，
∵P为BC的中点，
∴BP=CP，
∵∠BPG=∠CPH，
∴△BGP≌△CHP（AAS），
∴BG=CH，∠GBP=∠PCH，
∵AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵∠ABC=∠ABG+∠GBP=90°，∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠GBP=∠BAG，
∴∠PCH=∠BEP，
∵AB=BC，AB=BE，
∴BC=BE，
∴∠BCE=∠BEC，
∴∠HCE=∠HEC，
∴CH=EH，
∵∠CHE=90°，
∴CE=$\sqrt{2}$CH，即CE=$\sqrt{2}$BG；

（3）如图3，过点D作DH⊥AE于H，
∵BN平分∠CBE，
∴∠CBN=∠EBN，
由（2）可知∠GBP=∠BEP，
∵BG⊥AE，
∴∠GBP+∠PBN=45°，即∠GBN=45°=∠GNB，
∴BG=GN，BN=$\sqrt{2}$GN，
∵DH⊥AP，∠DAB=90°，
∴∠DAH+∠ADH=∠DAH+∠BAD=90°，
∴∠ADH=∠BAH，
∵∠AHD=∠AGB=90°，AD=AB，
∴△ADH≌△BAG（AAS），
∴AH=BG=GN，DH=AG，
∴HN=HG+GN=HG+AH=AG，
∴DH=HN，
∵∠DHN=90°，
∴DN=$\sqrt{2}$HN=$\sqrt{2}$AG，
∴BN+DN=$\sqrt{2}$GN+$\sqrt{2}$AG=$\sqrt{2}$AN．

点评 本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，理清题目已知条件和所要证明的结论之间的关系是解本题的难点，准确作出辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形是解决问题的关键．