Question

13．定义：点M，N把线段AB分割成AM、MN，NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
应用：（1）如图①，已知M、N是线段AB的勾股分割点，AM=6，MN=8，求NB的长；
（2）如图②，在△ABC中，点D、E在边线段BC上，且BD=3，DE=5，EC=4，直线l∥BC，分别交AB、AD、AE、AC于点F、M、N、G．求证：点M，N是线段FG的勾股分割点
拓展：（3）在菱形ABCD中，∠ABC=β（β＜90°），点E、F分别在BC、CD上，AE、AF分别交BD于点M、N．
①如图③，若BE=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{3}$CD，求证：M、N是线段BD的勾股分割点．
②如图④，若∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，sinβ=$\frac{12}{13}$，当点M、N是线段AB的勾股分割点时，求BM：MN：ND的值．

Answer 1

分析 （1）分两种情况进行讨论：NB为最长线段；MN为最长线段，分别根据勾股定理进行计算即可；
（2）根据BD=3，DE=5，EC=4，可得DE²=BD²+EC²，再根据直线l∥BC，可得$\frac{AF}{AB}$=$\frac{AM}{AD}$$\frac{AN}{AE}$，故可设$\frac{FM}{BD}$=$\frac{MN}{DE}$=$\frac{NG}{EC}$=k，进而得到FM=kBD，MN=kDE，NG=kEC，再根据DE²=BD²+EC²，可得MN²=FM²+NG²，即点M，N是线段FG的勾股分割点；
（3）①先判定△BEM∽△DAM，得出$\frac{BM}{DM}$=$\frac{BE}{DA}$，再根据BE=$\frac{1}{2}$BC，可得出BM=$\frac{1}{2}$DM，BM=$\frac{1}{3}$BD，同理可得，DN=$\frac{1}{4}$BD，进而得到MN=BD-BM-DN=$\frac{5}{12}$BD，再根据MN²=BM²+ND²，可得M、N是线段BD的勾股分割点．
②将△AND绕点A顺时针旋转，旋转角等于∠BAD，则AD旋转后与AB重合，点N旋转至点K的位置，DN=BK，∠ADN=∠ABK，连接KM，先判定△KAM≌△NAM，即可得出KM=NM，再根据点M、N是线段BD的勾股分割点，可得△KBM是直角三角形，再根据sin∠KBM=$\frac{12}{13}$，可得BM：MN：ND=13：12：5或BM：MN：ND=5：12：13．

解答 解：（1）当NB为最长线段时，
∵M、N是线段AB的勾股分割点，AM=6，MN=8，
∴NB=$\sqrt{A{M}^{2}+M{N}^{2}}$=10；
当MN为最长线段时，
NB=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
综上所述，NB的值为10或2$\sqrt{7}$；

（2）证明：如图2，∵BD=3，DE=5，EC=4，
∴DE²=BD²+EC²，
∵直线l∥BC，
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{AM}{AD}$$\frac{AN}{AE}$，
∴可设$\frac{FM}{BD}$=$\frac{MN}{DE}$=$\frac{NG}{EC}$=k，
∴FM=kBD，MN=kDE，NG=kEC，
∵DE²=BD²+EC²，
∴MN²=FM²+NG²，
∴点M，N是线段FG的勾股分割点；

（3）①证明：如图3，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BE，AB=BC=CD=DA，
∴△BEM∽△DAM，
∴$\frac{BM}{DM}$=$\frac{BE}{DA}$，
∵BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=$\frac{1}{2}$DM，BM=$\frac{1}{3}$BD，
同理可得，DN=$\frac{1}{4}$BD，
∴MN=BD-BM-DN=$\frac{5}{12}$BD，
∵MN²=$\frac{25}{144}$BD²，BM²+ND²=$\frac{1}{9}$BD²+$\frac{1}{16}$BD²=$\frac{25}{144}$BD²，
∴MN²=BM²+ND²，
∴M、N是线段BD的勾股分割点．

②如图4，将△AND绕点A顺时针旋转，旋转角等于∠BAD，则AD旋转后与AB重合，点N旋转至点K的位置，DN=BK，∠ADN=∠ABK，连接KM，
∴∠KBM=∠KBA+∠ABM=∠ABC，
∵sinβ=$\frac{12}{13}$，
∴sin∠KBM=$\frac{12}{13}$，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠KAM=∠NAM，
∵AN=AK，AM=AM，
∴△KAM≌△NAM，
∴KM=NM，
∵点M、N是线段BD的勾股分割点，
∴△KBM是直角三角形，
∵sin∠KBM=$\frac{12}{13}$，
∴BM：MN：ND=13：12：5或BM：MN：ND=5：12：13．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了勾股定理的逆定理，菱形的性质，相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形．解题时注意辅助线的运用以及旋转变换的运用，构造全等三角形以及直角三角形．