Question

已知：如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A（ 0，6 ），D（ 4，6），且AB=2

10

．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S_△PBC=

1

2

S_梯形ABCD？若存在，请求出该点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）在Rt△ABO中利用勾股定理求出OB的长，继而可得点B的坐标；
（2）利用待定系数法确定抛物线即可；
（3）根据等腰三角形的性质求出BC的长度，求出四边形ABCD的面积，继而可确定点P的纵坐标的绝对值，也可确定点P的坐标．

解答：解：（1）在Rt△OAB中，BO=

AB2-OA2

=2，
∴点B的坐标为（-2，0）．

（2）设经过A、B、D三点的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则

c=6 4a-2b+c=0 16a+4b+c=6

，
解得：

a=- 1 2 b=2 c=6

．
∴经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+2x+6．

（3）由等腰梯形的性质可得BC=2BO+AD=8，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）×OA=36，
设点P到x轴的距离为|y|，
∵S_△PBC=

1

2

S_梯形ABCD，
∴

1

2

×8×|y|=18，
∴|y|=

9

2

，
当y=-

9

2

时，-

1

2

x²+2x+6=-

9

2

，
解得：x₁=7，x₂=-3，
∴P₁（7，-

9

2

），P₂（-3，-

9

2

）．
当y=

9

2

时，-

1

2

x²+2x+6=

9

2

，
解得：x₁=2+

7

，x₂=2-

7

，
∴P₃（2+

7

，

9

2

），P₄（2-

7

，

9

2

）．
综上可得：P₁（7，-

9

2

），P₂（-3，-

9

2

），P₃（2+

7

，

9

2

），P₄（2-

7

，

9

2

）．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握各个基本知识点，灵活解答．