Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D．E是⊙O上的一点，∠DEB=45°，BF⊥DE，垂足为F．
（1）猜想CD与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
（2）若DC=6，cos∠ADE=，求DF的值．

Answer 1

（1）CD是⊙O的切线．
证明：连接OD．则∠BOD=2∠DEB=2×45°=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠CDO=180°-∠BOD=180°-90°=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：连接AE、BD，则∠ABE=∠ADE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC=6．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，cos∠ABE==cos∠ADE=．
∴=，
∴BE=，
∵BF⊥DE，
∴∠BFE=90°．
∴BF=BE•sin45°=2×=2，
∵∠BOD=90°，OB=DO=3，
∴BD==3，
∴DF==．
分析：（1）连接OD，即可得∠BOD=90°，又由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥DC，即可求得OD⊥CD，则可得CD与⊙O的位置关系是相切；
（2）连接AE、BD，由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=DC=6，由圆周角定理，可得∠AEB=90°，然后在Rt△ABE中，由余弦函数的定义，即可求得BE的长，然后由勾股定理即可求得DF的值．
点评：此题考查了切线的判定与性质、平行四边形的性质、圆周角定理以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．