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(2006•泰安)如图,Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴上,点B在y轴上,OB=,∠BAO=30度.将Rt△AOB折叠,使BO边落在BA边上,点O与点D重合,折痕为BC.
(1)求直线BC的解析式;
(2)求经过B,C,A三点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式;若抛物线的顶点为M,试判断点M是否在直线BC上,并说明理由.

【答案】分析:(1)根据题意易得∠OBC=∠DBC=30°,进而在Rt△COB可得C的坐标,又有B的坐标;进而可得BC的解析式;
(2)在Rt△AOB可得OA的长,即可得A的坐标;将ABC的坐标代入解析式方程可得abc的值,进而可得抛物线的解析式;将M的坐标代入判断其是否在抛物线上.
解答:解:(1)∵∠OBC=∠DBC=∠OBA=×(90°-30°)=30°
∴在Rt△COB中,OC=OB•tan30°==1
∴点C的坐标为(1,0)(2分)
又点B的坐标为(0,
∴设直线BC的解析式为y=kx+
∴0=k+
∴k=-
则直线BC的解析式为:y=-x+;(4分)

(2)∵在Rt△AOB中,OA==3
∴A(3,0),
又∵B(0,),C(1,0)
(7分)
解之得:a=,b=-,c=
∴所求抛物线的解析式为y=x2-x+(8分)
配方得:y=(x-2)2-
∴顶点为(9分)
把x=2代入y=-x+,得:y=-≠-
∴顶点M不在直线BC上.(10分)
点评:本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力.
练习册系列答案
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(1)求直线BC的解析式;
(2)求经过B,C,A三点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式;若抛物线的顶点为M,试判断点M是否在直线BC上,并说明理由.

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