Question

6．在矩形ABCD中，边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处（如图1）．
（1）如图2，设折痕与边BC交于点O，连接，OP、OA．已知△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（2）动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN、CA，交于点F，过点M作ME⊥BP于点E．
①在图1中画出图形；
②在△OCP与△PDA的面积比为1：4不变的情况下，试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？请你说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形△OCP∽△PDA的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长；
（2）①根据题意作出图形；
②由边相等常常联想到全等，但BN与PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半，只需求出PB长就可以求出EF长．

解答 解：（1）如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
又∵∠D=∠C，
∴△OCP∽△PDA，
∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴$\frac{OP}{PA}$=$\frac{CP}{DA}$=$\sqrt{\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
∴CP=$\frac{1}{2}$AD=4，
设OP=x，则CO=8-x，
在Rt△PCO中，∠C=90°，
由勾股定理得 x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
∴AB=AP=2OP=10，
∴边AB的长为10；

（2）①作图如下：
；

②作MQ∥AN，交PB于点Q，如图1．
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．
∴∠APB=∠MQP．
∴MP=MQ．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴PE=EQ=$\frac{1}{2}$PQ．
∵BN=PM，MP=MQ，
∴BN=QM．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF．
在△MFQ和△NFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QMF=∠BNF}\\{∠QFM=∠BFN}\\{QM=BN}\end{array}\right.$，
∴△MFQ≌△NFB．
∴QF=BF．
∴QF=$\frac{1}{2}$QB．
∴EF=EQ+QF=$\frac{1}{2}$PQ+$\frac{1}{2}$QB=$\frac{1}{2}$PB．
由（1）中的结论可得：
PC=4，BC=8，∠C=90°．
∴PB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∴EF=$\frac{1}{2}$PB=2$\sqrt{5}$．
∴当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键．