Question

如图，自△ABC的外接圆弧BC上的任一点M，作MD⊥BC于D，P是AM上一点，作PE⊥AC，PF⊥AB，PG⊥BC，E，F，G分别在AC，AB，AD上．证明：E，F，G三点共线．

Answer 1

考点：四点共圆,圆内接四边形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：如图，连接GE，GF，MC，MB，求出∠POC=∠PEC=90°，由三角形的内角和定理得出∠GPE=∠ACB，∠GPF=∠ABC，证△AGP∽△ADM，得出

PG

MD

=

AP

AM

，证△APE∽△BMD，
得出

AP

BM

=

PE

MD

，推出

PG

MB

=

PE

MA

，根据∠GPE=∠ACB=∠BMA，推出△PEG∽△MAB，求出∠PGE=∠ABM，∠PGF=∠ACM，由圆内接四边形性质得：∠PGE+∠PGF=180°即可．

解答：证明：如图，连接GE，GF，MC，MB，
∵PE⊥AC，PF⊥AB，PG⊥BC，
∴∠POC=∠PEC=90°，
∵∠PHB=∠EHC，
由三角形的内角和定理得：∠GPE=∠ACB
同理：∠GPF=∠ABC，
∵GP∥MD，
∴△AGP∽△ADM，
∴

PG

MD

=

AP

AM

，…①
∵∠GPE=∠ACB=∠BMA圆周角定理），∴∠APE=∠BMD，
又∵∠AEP=∠BDM=90°，
∴△APE∽△BMD，
∴

AP

BM

=

PE

MD

，…②
①×②得

PG

MB

=

PE

MA

，
∵∠GPE=∠ACB=∠BMA，
∴△PEG∽△MAB，
∴∠PGE=∠ABM
同理：∠PGF=∠ACM，
由圆内接四边形性质得：∠PGE+∠PGF=∠ABM+∠ACM=180°，
∴E，F，G三点共线．

点评：本题考查了圆内接四边形性质，相似三角形的性质和判定的应用，关键是能灵活地运用相似三角形的性质和判定进行推理，此题比较好，但是难度偏大，注意：相似三角形的对应边成比例；反之：有两边对应成比例，且夹角相等，两三角形才相似．