Question

如图，抛物线y=-

1

2

x²+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（-2，0），点D为抛物线顶点，直线BD与y轴交于点F、P是线段BD上一点．
（1）求抛物线的解析式及B点的坐标．
（2）判断△BCD的形状，并说明理由．
（3）若∠BDC=∠PCF，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式得出即可，再利用y=0时，求出图象与x轴交点坐标即可；
（2）首先求出C，D点坐标，再利用勾股定理得出CD，BC，BD的长，进而利用勾股定理逆定理得出△BCD的形状；
（3）根据（2）中所求得出tan∠BDC=tan∠PCF=3，进而求出直线BD的解析式，进而表示出P点坐标，即可代入上式即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=-

1

2

x²+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（-2，0），
∴0=-

1

2

×（-2）²+2×（-2）+c，
解得；c=6，
∴抛物线的解析式为；y=-

1

2

x²+2x+6，
当y=0，则0=-

1

2

x²+2x+6，
解得：x₁=-2，x₂=6，
∴B点的坐标为；（6，0）；

（2）如图1，过点D作DE⊥x轴于点E，作CN⊥DE于点N，
∵y=-

1

2

x²+2x+6，当x=0时，y=6，
∴C（0，6），
∵y=-

1

2

x²+2x+6=-

1

2

（x-2）²+8，
∴D（2，8），
∴BC=

62+62

=6

2

，CD=

CN2+DN2

=2

2

，BD=

ED2+BE2

=

80

，
∴BC²+CD²=BD²，
∴△BCD是直角三角形；

（3）如图2，过点P作PN⊥y轴于点N，
∵B（（6，0），D（2，8），设直线BD的解析式为：y=kx+b，
则

2k+b=8 6k+b=0

，
解得：

k=-2 b=12

，
∴直线BD的解析式为：y=-2x+12，
∵∠BDC=∠PCF，
∴tan∠BDC=tan∠PCF=

BC

CD

=

PN

NC

=

6 2

2 2

=3，
设P点坐标为：（x，-2x+12），
∴NC=NO-CO=-2x+12-6=-2x+6，
NP=x，
∴

x

-2x+6

=3，
解得；x=

18

7

，
经检验得出：x=

18

7

是原方程的根，
∴-2x+12=-2×

18

7

=12=

48

7

，
∴P（

18

7

，

48

7

）．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理以及逆定理和待定系数法求一次函数解析式等知识，利用图象上点的坐标性质表示出P点坐标是解题关键．