Question

如图（1），∠ABC=90°，O为射线BC上一点，OB=4，以点O为圆心，长为半径作⊙O交BC于点D、E．
（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由．
（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，如图（2），求的长．

Answer 1

解：（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45度°或135°时与⊙O相切．
理由如下：如图，设切点为F，连OF．则OF⊥BF，
在Rt△OBF中，OF=2，OB=4，
∴cos∠OBF==，
∴∠OBF=∠BOF=45°，
∴∠ABF=45°，
同理：当∠ABF=135°时，AB旋转的此时BF的反向延长线上，
∴当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45度°或135°时与⊙O相切．

（2）过点O作OH⊥AB于点H，
∵射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，
∴∠ABC=30°，
∴OH=OB=×4=2，
在Rt△OMH中，OM=2，
∴cos∠MOH==，
∴∠MOH=45°，
∴∠MON=90°，
∴的长为：=π．
分析：（1）首先设切点为F，连OF．则OF⊥BF，由特殊角的三角函数值，即可求得∠OBF的度数，继而求得当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切；
（2）首先过点O作OH⊥AB于点H，由射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，即可得∠ABC=30°，继而求得OH的长，然后由特殊角的三角函数值，求得∠MOH的度数，继而求得∠MON的度数，然后由弧长公式求得的长．
点评：此题考查了切线的性质、旋转的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．