Question

如图，在半径为5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在弧AB上运动．
（1）当点P与点C关于AB对称时，求CP的长；
（2）当点P运动到弧AB的中点时，求CP的长；
（3）点P在弧AB上运动时，求CP的长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由点P与点C关于AB对称，根据垂径定理，即可得CD=PD，又由AB为⊙O的直径，即可得∠ACB是直角，然后根据勾股定理与相交弦定理，即可求得CP的长；
（2）首先连接PB，过点B作BE⊥PC于点E，由点P运动到弧AB的中点，根据圆周角定理，即可求得PB的长，∠BCP的度数，由勾股定理，求得BE的长，继而求得CP的长；
（3）由点P在弧AB上运动时，恒有 CP＞CA，当CP过圆心O，即PC取最大值10，则可求得CP的长的取值范围．

解答：解：（1）∵点P与点C关于AB对称，
∴CP⊥AB，设垂足为D．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴AB=10，BC：CA=4：3，
∴BC=8，AC=6．
又∵AC•BC=AB•CD，
∴CD=4.8，
∴CP=2CD=9.6；

（2）当点P运动到弧AB的中点时，连接PB，过点B作BE⊥PC于点E．
∵P是弧AB的中点，
∴AP=BP=5

2

，∠ACP=∠BCP=45°，
∵BC=8，
∴CE=BE=4

2

，
∴PB=5

2

，
∴PE=

PB2-BE2

=3

2

，
∴CP=CE+PE=7

2

；

（3）点P在弧AB上运动时，恒有 CP＞CA，
即CP＞6，
当CP过圆心O，即PC取最大值10，
∴CP的取值范围是6＜CP≤10．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及相交弦定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．