Question

直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=

m

x

（m≠0）交于点A（2，3）、点B（x，y），当∠OAB是锐角时，x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：由函数图象得到B在第三象限时，满足∠OAB是锐角；当B在第一象限时，抓住特殊情况，即OA与AB垂直时，由OA的斜率求出直线AB的斜率，表示出直线AB方程，将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，与直线AB联立求出B的横坐标，确定出∠OAB是锐角时x的范围，综上，得到满足题意x的范围．

解答：解：当x＜0，即B在第三象限时，显然满足∠OAB是锐角；
当x＞0时，即B在第一象限，设OA⊥AB时，
∵直线OA的斜率为

3

2

，
∴直线AB斜率为-

2

3

，即直线AB解析式为y-3=-

2

3

（x-2），
整理得：2x+3y-13=0，
将A（2，3）代入反比例解析式得：m=6，即y=

6

x

，
联立得：

2x+3y-13=0 y= 6 x

，
消去y得：2x²-13x+18=0，即（2x-9）（x-2）=0，
解得：x=

9

2

或x=2（此时B与A重合，不合题意，舍去），
∴B横坐标为

9

2

，
此时当∠OAB是锐角时，x的范围为0＜x＜

9

2

，且x≠2，
综上，当∠OAB是锐角时，x的取值范围是0＜x＜

9

2

且x≠2或x＜0．
故答案为：0＜x＜

9

2

且x≠2或x＜0．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，两直线垂直时斜率满足的关系，弄清题意是解本题的关键．