Question

如图1，在一个直角三角形内做一个矩形ABCD，其中AB和AD分别两直角边上．
（1）如果说矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示；
（2）设矩形的面积为ym²，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
议一议
在上面的问题中如果把矩形改为如图2所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎么知道的？

Answer 1

考点：二次函数的应用,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图1，由矩形的性质可以得出CD∥AB，就可以得出△EDC∽△EAF，由相似三角形的性质就可以求出ED，就可以求出结论；
（2）由矩形的面积公式就可以表示出y与x之间的关系式，由函数的性质就可以求出结论；
议一议：如图2，由矩形的性质可以得出CD∥AB，就可以得出△ODA∽△OEF，作OH⊥EF于H，交AD于G，由勾股定理可以求出EF的值，进而求出OH的值，由AB=x，则可以表示出OG，由相似三角形的性质就可以表示出AD，由矩形的性质就可以得出y与x的关系，由二次函数的性质就可以求出结论．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴CD∥AB，CD=AB，BC=AD，
∴△EDC∽△EAF，
∴

CD

AF

=

ED

AE

．
∵AB=x，
∴DC=30-x．
∴

CD

40

=

30-x

30

∴

x

40

=

DE

30

，
∴DE=

3

4

x，
∴AD=30-

3

4

x；
（2）由题意，得
y=x（30-

3

4

x），
y=-

3

4

（x-20）²+300
∴a=-

3

4

＜0，
∴x=20时，y_最大=300．
答：当x=20时，面积的最大值为300平方米；
议一议，如图2，∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，CD=AB，BC=AD，
∴△ODA∽△OEF，
∴

AD

EF

=

OG

OH

．
作OH⊥EF于H，交AD于G，
∴GH=AB=x，
∴OG=OH-x．
在Rt△EOF中，由勾股定理，得
EF=50，
∴

50OH

2

=

30×40

2

，
∴OH=24，
∴OG=24-x．
∴

AD

50

=

24-x

24

，
∴AD=50-

25

12

x．
∴y=x（50-

25

12

x），
∴y=-

25

12

（x-12）²+300．
∴a=-

25

12

＜0，
∴x=12时，y_最大=300．
答：当x=12时，面积的最大值为300平方米；

点评：本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．