Question

17．如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．
（1）求证：DE-BF=EF
（2）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据垂直得出∠AED=∠AFB=90°，根据正方形的性质得出AD=AB，∠BAD=90°，求出∠ADE=∠BAF，根据AAS推出△DAE≌△ABF，根据全等三角形的性质得出DE=AF，BF=AE，即可得出答案；
（2）根据垂直得出∠AED=∠AFB=90°，根据正方形的性质得出AD=AB，∠BAD=90°，求出∠ADE=∠BAF，根据AAS推出△DAE≌△ABF，根据全等三角形的性质得出DE=AF，BF=AE，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠DAE+∠BAF=90°，∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
在△DAE和△ABF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠BFA}\\{∠ADE=∠BAF}\\{AD=AB}\end{array}\right.$
∴△DAE≌△ABF （AAS），
∴DE=AF，BF=AE，
∴DE=AF=AE+EF=BF+EF，
∴DE-BF=EF；

（2）EF=BF+DE，
证明：如图2，∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠DAE+∠BAF=180°-90°=90°，∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
在△DAE和△ABF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠BFA}\\{∠ADE=∠BAF}\\{AD=AB}\end{array}\right.$
∴△DAE≌△ABF （AAS），
∴DE=AF，BF=AE，
∴EF=AE+AF=BF+DE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，能求出△DAE≌△ABF 是解此题的关键，证明过程类似．