Question

17．已知方程x²+2kx+k²-2k+1=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x₁²+x₂²=4，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=（2k）²-4（k²-2k+1）=8k-4≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-2k，x₁x₂=k²-2k+1，再利用完全平方公式由x₁²+x₂²=4得到（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4，则4k²-2（k²-2k+1）=4，然后解关于k的方程，最后利用k的范围可确定满足条件的k的值．

解答 解：（1）根据题意得△=（2k）²-4（k²-2k+1）=8k-4≥0，
解得k≥$\frac{1}{2}$；
（2）根据题意得x₁+x₂=-2k，x₁x₂=k²-2k+1，
∵x₁²+x₂²=4，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4
∴4k²-2（k²-2k+1）=4，
整理得k²+2k-3=0，解得k₁=-3，k₂=1，
而k≥$\frac{1}{2}$
∴k=1．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．