Question

9．在△ABC中，∠B的平分线交AC于D，∠C的平分线交AB于E，且BE=CD．
求证：AB=AC．

Answer 1

分析 过点A作AF∥BC交BD的延长线于F，求出△ADF和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AF}{BC}$，再求出AF=AB，从而得到$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AB}{BC}$，同理可得$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AC}{BC}$，然后求出$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AC}{AB}$，再求出△ABD和△ACE相似，根据相似三角形对应角相等求出∠ABD=∠ACE，根据角平分线的定义求出∠ABC=∠ACB，然后根据等角对等边证明即可．

解答 证明：如图，过点A作AF∥BC交BD的延长线于F，
所以，△ADF∽△CDB，
所以，$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AF}{BC}$，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AF∥BC，
∴∠F=∠CBD，
∴∠ABD=∠F，
∴AF=AB，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AB}{BC}$，
同理可得$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AC}{BC}$，
∵BE=CD，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AC}{AB}$，
又∵∠CAE=∠BAD，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD，∠ACB=2∠ACE，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键．