Question

如图所示，D为等边三角形△ABC边BC上的一点，AD的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，FD的延长线交AB的延长线于点M，DE与CA的延长线交于点N．求证：DM＝AN．

Answer 1

答案：
解析：

证明：∵EF是AD的垂直平分线， 　　∴AE＝DE，AF＝DF． 　　∵△ABC是等边三角形， 　　∴∠BAC＝， 　　∴∠MAF＝， 　　∴∠EAD＝∠EDA，∠FAD＝∠FDA， 　　∴∠EAD＋∠FAD＝∠EDA＋∠FDA， 　　∴∠MAF＝∠NDF＝，(此题通过垂直平分线建立等腰三角形，通过角度转化之后，构造全等三角形，从而得出结论．) 　　∴∠MDE＝∠NAE＝． 　　∵∠MED＝∠NEA，DE＝AE， 　　∴△MED≌△NEA(ASA)， 　　∴DM＝AN．

提示：

注：本题根据线段的垂直平分线易得AE＝DE，AF＝DF，但是由此推出∠MAF＝∠NDF＝，进而推出∠MDE＝∠NAE＝，是证题的关键，也是难点．