Question

已知：如图，三个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y=x相切，设半圆C₁、半圆C₂、半圆C_3…的半径分别是r₁、r₂、r_3…．，则当r₁=1时，则r₂₀₁₂=________．

Answer 1

3²⁰¹¹
分析：设三个半圆与直线y=x分别相切于A、B、C点，分别连接圆心与切点，根据切线的性质得到三个直角三角形，再由直线OC的方程得到直线的倾斜角为30°，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到OC₁=2C₁A，0C₂=2C₂B，0C₃=2C₃C，再由三半圆彼此外切，得到相两圆的圆心距等于两半径相加，得出r₁、r₂、r₃间的关系，由r₁的值可得出r₂、r₃的值，按照此规律可归纳出r₂₀₁₂的值．
解答：解：设半圆C₁、半圆C₂、半圆C₃直线y=x分别相切于点A，B，C，连接C₁A，C₂B，C₃C，
则C₁A⊥OA，C₂B⊥OB，C₃C⊥OC，
∵tan∠COC₁=，
∴∠COC₁=30°，
又∵三半圆彼此相外切，
∴OC₁=2C₁A=2r₁，0C₂=2C₂B=2r₂=OC₁+r₁+r₂=3r₁+r₂，0C₃=2C₃C=OC₂+r₂+r₃=3r₁+2r₂+r₃=2r₃，
∴2r₂=3r₁+r₂，3r₁+2r₂+r₃=2r₃，
∴r₂=3r₁，r₃=3r₁+2r₂，
∵r₁=1=3⁰，
∴r₂=3=3¹，
∴r₃=9=3²，
∴按此规律归纳得：r_n=3^n-1，
∴r₂₀₁₂=3²⁰¹¹．
故答案为：3²⁰¹¹．
点评：此题考查了两圆相切的性质，切线的性质，含30°直角三角形的性质以及一次函数的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．