如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长.那么称这个三角形为“匀称三角形 (1)已知:如图1.在△ABC中.∠C=90°.,. 求证:△ABC是“匀称三角形 , 图1 (2)在平面直角坐标系xoy中.如果三角形的一边在x轴上.且这边的中线恰好等于这边的长.我们又称这个三角形为“水平匀称三角形 .如图2.现有10个边长是1的小正方形组成的长方形区域记� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”

（1）已知：如图1，在△ABC中，∠C=90°，,.

求证：△ABC是“匀称三角形”；

图1

（2）在平面直角坐标系xoy中，如果三角形的一边在x轴上，且这边的中线恰好等于这边的长，我们又称这个三角形为“水平匀称三角形”.如图2，现有10个边长是1的小正方形组成的长方形区域记为G, 每个小正方形的顶点称为格点，A（3，0），B（4，0），若C、D（C、D两点与O不重合）是x轴上的格点，且点C在点A的左侧. 在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P共有几个？其中是否存在横坐标为整数的点P，如果存在请求出这个点P的坐标，如果不存在请说明理由.

解：

解：（1）如图1，作AC边的中线BD交AC于点D，

∵∠C=90°，BC= 2，AB = 2，

∴AC = = 4.

∴AD=CD=2.

BD = = 4

∴AC = BD，

∴ △ABC是“匀称三角形”

（2）①在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P共有 4 个

②在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P中，存在横坐标为整数的点P.

如图，当C点坐标为（2，0），D点坐标为（3，0）与A重合时，△PAC与△PBD是水平匀称三角形.

∵A（3，0），C（2，0），

B（4，0），D（3，0）

∴AC＝1，BD＝1

设PM、PN分别为CA、DB上的中线,

∴AM＝ AC＝，

AN＝ BD＝ ,

∴AM＝AN=

∴点A为MN的中点.

∵△PAC与△PBD是“水平匀称三角形”

∴PM＝AC＝1，PN＝BD＝1

∴PM＝PN=1

∴PA⊥MN，即PA与x轴垂直

∵A（3，0）

∴P点横坐标为整数3.

在Rt△PMA中，PM＝1，AM＝

∴PA＝

∴P（3，）

所以，当C点坐标为（2，0），D点坐标为（3，0）与A重合时，△PAC与△PBD是水平匀称三角形且P点横坐标为整数.

解法2. 在长方形区域内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P中，存在横坐标为整数的点P.

如图，当C点坐标为（2，0），D点坐标为（3，0）与A重合，P点横坐标为3时

∵A（3，0），P点横坐标为3

∴PA与x轴垂直

∵A（3，0），C（2，0），

B（4，0），D（3，0）

∴AC＝1，BD＝1

设AC中点为M，BD中点为N.

∴AM＝AC＝，AN＝ BD＝

∴AM＝AN

要使△PAC与△PBD是水平匀称三角形

只需PM＝AC＝1，PN＝BD＝1

∵PA与x轴垂直

在Rt△PMA中，PM＝1，AM＝

∴PA＝

∴P（3，）

所以，当C点坐标为（2，0），D点坐标为（3，0）与A重合，△PAC与△PBD是水平匀称三角形且P点横坐标为整数.

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