Question

（2012•莆田）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB²=AD•AC；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．

AB

BC

=

BD

DC

=1，求

AF

FC

的值；
（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若

AB

BC

=

BD

DC

=n，请探究并直接写出

AF

FC

的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明．

Answer 1

分析：（1）本问是射影定理的证明．首先证明一对相似三角形△ADB∽△ABC，然后利用相似三角形比例线段的关系得到AB²=AD•AC；
（2）构造平行线，得到线段之间的比例关系，并充分利用（1）中的结论；
（3）本问是将（2）中的结论推广到一般情形，解题方法与（2）相同．注意有三种情形，如图④、⑤、⑥所示，不要遗漏．

解答：（1）证明：如图①，∵BD⊥AC，∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∴

AB

AC

=

AD

AB

，
∴AB²=AD•AC．

（2）解：方法一：
如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，
∵BE⊥AD，
∴∠CGD=∠BED=90°，CG∥BF．
∵

AB

BC

=

BD

DC

=1，
∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC，
又∵∠BDE=∠CDG，
∴△BDE≌△CDG，
∴ED=GD=

1

2

EG．
由（1）可得：AB²=AE•AD，BD²=DE•AD，
∴

AE

DE

=

AB2

BD2

=

(2BD)2

BD2

=4，
∴AE=4DE，
∴

AE

EG

=

4DE

2DE

=2．
∵CG∥BF，
∴

AF

FC

=

AE

EG

=2．
方法二：
如图③，过点D作DG∥BF，交AC于点G，
∵

AB

BC

=

BD

DC

=1，
∴BD=DC=

1

2

BC，AB=BC．
∵DG∥BF，
∴

FG

FC

=

BD

BC

=

1

2

，FC=2FG．
由（1）可得：AB²=AE•AD，BD²=DE•AD，
∴

AE

DE

=

AB2

BD2

=

(2BD)2

BD2

=4，
∵DG∥BF，
∴

AF

FG

=

AE

DE

=4，
∴

AF

FC

=

AF

2FG

=2．

（3）解：点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况：
（I）当点D在线段BC上时，如图④所示：
过点D作DG∥BF，交AC边于点G．
∵

AB

BC

=

BD

DC

=n，
∴BD=nDC，BC=（n+1）DC，AB=n（n+1）DC．
∵DG∥BF，
∴

FG

GC

=

BD

DC

=n，
∴FG=nGC，FG=

n

n+1

FC．
由（1）可得：AB²=AE•AD，BD²=DE•AD，
∴

AE

DE

=

AB2

BD2

=

[n(n+1)DC]2

(nDC)2

=（n+1）²；
∵DG∥BF，
∴

AF

FG

=

AE

DE

=（n+1）²，
即

AF

n n+1 FC

=（n+1）²，化简得：

AF

FC

=n²+n；
（II）当点D在线段BC的延长线上时，如图⑤所示：
过点D作DG∥BE，交AC边的延长线于点G．
同理可求得：

AF

FC

=n²-n；
（III）当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示：
过点D作DG∥BF，交CA边的延长线于点G．
同理可求得：

AF

FC

=n-n²．

点评：本题考查了射影定理的证明及应用．第（2）问中，利用了第（1）问中所证明的射影定理；在第（3）问中，将第（2）问的结论推广到一般情形，体现了从特殊到一般的数学思想．题中涉及线段较多，比例关系比较复杂，注意认真计算不要出错．第（2）问中提供了两种解题方法，可以开拓思路；第（3）问中采用了第（2）问中的解法二，有兴趣的同学可以探究应用方法一解决．