Question

4．如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作轴，轴的垂线，垂足为E，F，连结CF，DE，有下列结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于$\frac{k}{2}$，
其中正确的是①②④⑤．（填序号）

Answer 1

分析 此题要根据反比例函数的性质进行求解，解决此题的关键是要证出CD∥EF，可从①问的面积相等入手；△DFE中，以DF为底，OF为高，可得S_△DFE=$\frac{1}{2}$|x_D|•|y_D|=$\frac{1}{2}$k，同理可求得△CEF的面积也是$\frac{1}{2}$k，因此两者的面积相等；若两个三角形都以EF为底，那么它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CD∥EF，然后根据这个条件来逐一判断各选项的正误．

解答 解：设点D的坐标为（x，$\frac{k}{x}$），则F（x，0）．
由函数的图象可知：x＞0，k＞0．
∴S_△DFE=$\frac{1}{2}$DF•OF=$\frac{1}{2}$|x_D|•|$\frac{k}{{x}_{D}}$|=$\frac{1}{2}$k，
同理可得S_△CEF=$\frac{1}{2}$k，故⑤正确；
故S_△DEF=S_△CEF．故①正确；
若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．故②正确；
③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；
④法一：∵CD∥EF，DF∥BE，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∴S_△DEF=S_△BED，
同理可得S_△ACF=S_△ECF；
由①得：S_△DBE=S_△ACF．
又∵CD∥EF，BD、AC边上的高相等，
∴BD=AC，故④正确；
法2：∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形，
而且EF是公共边，
即AC=EF=BD，
∴BD=AC，故④正确．
故答案为：①②④⑤．

点评 本题考查了反比例函数综合题，利用反比例函数的性质来证图形的面积相等，根据面积相等来证线段的平行或相等，设计巧妙，难度较大．