Question

如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD上，且∠EBF=60゜．求证：EF=AE+CF．

Answer 1

分析：延长DC至M，使CM=AE，利用“边角边”证明△ABE和△CBM全等，根据全等三角形对应边相等可得BM=BE，全等三角形对应角相等可得∠CBM=∠ABE，然后求出∠MBF=60°，从而得到∠EBF=∠MBF，利用“边角边”证明△BMF和△BEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MF=EF，再根据MF=MC+CF整理即可得证．

解答：证明：如图，延长DC至M，使CM=AE，
在△ABE和△CBM中，

CM=AE ∠BCM=∠A=90° AB=BC

，
∴△ABE≌△CBM（SAS），
∴BM=BE，∠CBM=∠ABE，
∵∠D=60°，∠A=∠C=90°，
∴∠ABC=360°-60°-90°×2=120°，
∵∠EBF=60°，
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠EBF=120°-60°=60°，
∴∠MBF=∠MCB+∠CBF=∠ABE+∠CBF=60°，
∴∠EBF=∠MBF，
在△BMF和△BEF中，

BM=BE ∠EBF=∠MBF BF=BF

，
∴△BMF≌△BEF（SAS），
∴MF=EF，
∵MF=MC+CF，
∴EF=AE+CF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，本题利用“补短法”作辅助线构造出两对全等三角形，是解题的关键．