Question

如图，直线y=-x+b与双曲线交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于点M，BN⊥x轴于点N，有以下结论：①S_△AOM=S_△BON；②OA=OB；③五边形MABNO的面积；④若∠AOB=45°，则S_△AOB=2k，⑤当AB=时，ON-BN=1；其中结论正确的个数有

1. A.
   5个
2. B.
   4个
3. C.
   3个
4. D.
   2个

Answer 1

B
分析：①②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立y=-x+b与y=，得x²-bx+k=0，则x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，比较可知x₂=y₁，同理可得x₁=y₂，即ON=OM，AM=BN，可证结论；
③求出AB与x轴、y轴的交点，求出△OCD的面积，由此即可比较出S_{五边形MABNO}＜S_△COD，即即；
④作OH⊥AB，垂足为H，根据对称性可证△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可证S_△AOB=k；
⑤延长MA，NB交于G点，可证△ABG为等腰直角三角形，当AB=时，GA=GB=1，则ON-BN=GN-BN=GB=1．
解答：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入y=中，得x₁•y₁=x₂•y₂=k，
联立 ，得x²-bx+k=0，
则x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，
∴x₂=y₁，
同理x₂•y₂=k，
可得x₁=y₂，
∴ON=OM，AM=BN，
∴①△AOM≌△BON，故本选项正确；
②由①可知，OA=OB，故本选项正确；
③如图1，∵直线AB与坐标轴的交点为（0，b），（b，0），
∴S_△COD=b•b=b²，
由图可知，S_{五边形MABNO}＜S_△COD，即，故本选项正确．
④图2，作OH⊥AB，垂足为H，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∵①△AOM≌△BON，故本选项正确；
∴∠MOA=∠BON=22.5°，
∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=k+k=k，故本选项错误；
⑤如图3，延长MA，NB交于G点，
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG为等腰直角三角形，
当AB=时，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，
∴当AB=时，ON-BN=1，故本选项正确．
正确的结论①②③⑤．
故选B．
点评：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是明确反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数图象的对称性．