Question

己知如图，正△ABC的边长为2，B，C在x轴的正半轴上，A在第一象限，直线y=

1

2

x+

3

-1经过A点，以BC为直径的⊙M交AB于E．
（1）求A点的坐标；
（2）求证：OE与⊙M相切；
（3）试各写出一个顶点在⊙M内、⊙M上、⊙M外，且经过B、C两点的抛物线的解析式．（只需写出解析式，不需书写求解过程）．

Answer 1

分析：（1）可在直角三角形BMA中，根据等边三角形的边长和∠ABC的正弦值求出AM的长即A点的纵坐标，然后代入直线的解析式中即可求出A点的坐标；
（2）连接ME，证ME⊥OE即可．易知三角形BEM是等边三角形，那么BE=BM，根据A点的坐标可求出B点的坐标，由此可证得AB=BM，因此证出了BE=

1

2

OM，由此得证；
（3）根据圆和抛物线的对称性可知：抛物线的对称轴必过M点，因此只需找出抛物线与圆的两个交点坐标，易知：（2，1）（2，-1）．据此来求抛物线的解析式．

解答：（1）解：连接AM，在直角三角形ABM中，AB=2，∠ABC=60°，
因此BM=1，AM=

3

．
将y=

3

代入直线解析式中：

3

=

1

2

x+

3

-1，x=2
∴A（2，

3

）

（2）证明：由（1）可知：BM=1，
因此OB=OM-BM=2-1=1，
因此BM=OB
连接ME，∵MB=ME，∠ABC=60°，
∴△BME是等边三角形．
∴BE=OB=BM，
∴∠OME=∠EBM=∠BEM=60°，
∴∠OBE=120°，
∴∠EOB=∠BEO=30°，
∴∠OEM=90°，
∴OE是圆M的切线．

（3）解：当顶点在圆上时，抛物线的解析式为y=±（x²-4x+3），其他两种情况答案不唯一．

点评：本题考查了等边三角形的性质、解直角三角形、切线的判定等知识点．