Question

如图，在正方形ABCD中，AB=6，用一块含45°的三角板，把45°角的顶点放在D点，将三角板绕着点D旋转，使这个45°角的两边与线段AB、BC分别相交于点E、F．
（1）由几个不同的位置，分别测量AE、EF、FC的长，从中你能发现AE、EF、FC的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；
（2）设AE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域．

Answer 1

解：（1）EF=AE+FC．
理由：如图所示：延长BC至E′′，使CE′=AE，连接DE′，
∵AD=CD，AE=CE′，∠A=∠DCE′=90°，
∴△ADE≌△CDE′，
∴DE=DE′，∠ADE=∠CDE′，
∠FDE′=∠FDC+∠CDE′=∠FDC+∠ADE=90°-∠EDF=45°，
∴△DEF≌△DE′F，
∴EF=E′F=CE′+FC=AE+FC；

（2）如图所示，已知AE=x，CF=y，则BE=6-x，BF=6-y，
由（1）可知EF=x+y，
在Rt△BEF中，由勾股定理，得
BE²+BF²=EF²，即（6-x）²+（6-y）²=（x+y）²，
解得：y=（0≤x≤6）．
分析：（1）延长BC至E′′，使CE′=AE，连接DE′，利用旋转法证明△ADE≌△CDE′，根据已知证明∠FDE′=∠EDF=45°，可证△DEF≌△DE′F，再根据全等三角形的性质可得EF=AE+FC；
（2）由（1）的结论，将条件集中在Rt△BEF中，由勾股定理建立x、y的函数关系式．
点评：本题考查了旋转法在证题中的运用，勾股定理在建立函数关系式中的运用．关键是通过旋转，将条件相对集中．