Question

已知CA=CB=CD，过A，C，D三点的圆交AB于点F．求证：CF为∠DCB的平分线．

Answer 1

证明：连接DF，BD，
∵AC=CB=CD，
∴∠A=∠2，∠CDB=∠CBD，
又∵∠A=∠1，
∴∠1=∠2，
∴∠FDB=∠FBD，
∴DF=BF
在△DCF和△BCF中，
∵DF=BF
∠1=∠2，
CD=CB，
∴△DCF≌△BCF，
∴∠DCF=∠BCF
即CF为∠DCB的平分线
分析：连接DF，BD，由AC=CB=CD，得到∠A=∠2，∠CDB=∠CBD，而∠A=∠1，得到∠1=∠2，则∠FDB=∠FBD，易证△DCF≌△BCF，于是有∠DCF=∠BCF．
点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定与性质．