Question

15．在矩形ABCD中，AD=10，AB=8，点E、F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为G，则∠ABG的正切值是$\frac{11}{8}$或$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 两种情况：①由矩形的性质得出CD=AB=8，BC=AD=10，∠ADB=∠CDF=90°，由菱形的性质得出CF=EF=BE=BC=10，由勾股定理求出DF，得出GF，即可求出AG；②同①得出AE=6，求出GE，即可得出AG的长，然后解直角三角形即可求得．

解答 解：分两种情况：①如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=8，BC=AD=10，∠ADC=∠CDF=90°，
∵四边形BCFE为菱形，
∴CF=EF=BE=BC=10，
∴DF=$\sqrt{C{F}^{2}-C{D}^{2}}$=6，
∴AF=AD+DF=16，
∵G是EF的中点，
∴GF=$\frac{1}{2}$EF=5，
∴AG=AF-DF=16-5=11，
∴tan∠ABG=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{11}{8}$；
②如图2所示：同①得：AE=6，
∵G是EF的中点，
∴GE=5，
∴AG=AE-GE=1，
∴tan∠ABG=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{1}{8}$；
故答案为：$\frac{11}{8}$或$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了解直角三角形、矩形的性质、菱形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形和菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．